Category Archives

19 Articles

4.3.1 Вращение твёрдого тела вокруг (около) неподвижной точки

Дано:

Прямой круговой конус с углом 2 \alpha при вершине катится по неподвижной плоскости без скольжения делая n оборотов в минуту около вертикальной оси \overline {OX}. Высота конуса — h.

Определить:

1. Алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси \vec{OX} и \vec{O\varepsilon}, соответственно, а также мгновенную угловую скорость конуса.
2. Угловое ускорение конуса.
3. Скорости точек B и C.
4. Ускорение точки B, а также осестремительное и вращательное, нормальное и касательное ускорения точки C.
2\alpha - 120^o; h = 20cm; n = 120 об./мин.

Решение:

1. Точка O — неподвижная точка конуса — начало отсчёта главной Oxyz и подчинённой O\varepsilon\eta ... координатных систем; \vec{OX} — ось прецессии, \vec{O\varepsilon} — ось ротации.


2. Определить угловые скорости прецессии \omega_\psi и ротации \omega_\varphi , мгновенную угловую скорость \omega и мгновенную ось вращение \vec l.

    \[ \overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi + \overline\omega_\theta \]

\omega_\theta = 0, так как \theta — константа
\omega_\theta — угловая скорость нутации, \theta — угол нутации, тогда

    \[ \overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi, \]

определить угловую скорость прецессии по заданному числу оборотов n_\theta.

    \[ \omega_\psi = \frac{2\Pi \cdot n_\psi }{60} = \frac{2\Pi \cdot 120 }{60} = 4\Pi (sec^{-1}) \]

\omega_\psi \in оси \vec{Ox} , \omega_\varphi \in оси \vec{O\varepsilon}
векторное равенство на рисунке.
применим теорему синусов

    \[ frac{\omega_\psi}{\sin 60^o} = \rac{\omega_\varphi}{\sin 90^o} = \frac{\omega}{\sin 30^o}, \]

тогда:

    \[ \omega_\varphi = \frac{\omega_\psi \cdot \sin 90^o}{\sin 60^o} = \frac{\omega_\psi \cdot 1 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8\Pi}{\sqrt{3}} \approx 14.5 (sec^{-1}), \]

    \[ \omega = \omega_\psi \frac{\sin 30^o}{\sin 60^o} = \frac{4\Pi \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx 7.26 (sec^{-1}). \]

Проверим, выполняются ли условия регулярной прецессии:

    \[ \theta = ( \vec{Ox}; \vec{O\varepsilon} ) = 330^o = const_1 \]

    \[ \omega_\psi = 4\Pi \; sec^{-1} = const_2 \]

    \[ \omega_\varphi = 7.26 \; sec^{-1} = const_3 \]


3. В случае регулярной прецессии угловое ускорение конуса \varepsilon является закреплённым вектором в точке O и определяется по формуле:

    \[ \overline \varepsilon = \left[ \overline\omega_\psi \times \overline\omega \right]; \]

    \[ \vert\overline\varepsilon\vert = \vert\overline\omega_\psi\vert\; \vert\overline\omega\vert\; \vert\sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega)\vert = 4\Pi \cdot 7.26 \approx 91.2\;(sec^{-2}); \]

    \[ \sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega) = \sin 90^o = 1. \]

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис) вектор \overline\varepsilon \uparrow\uparrow \vec{Oz}.


4. Определить скорости точек B и C конуса по формуле

    \[ \overline V_B = [ \overline\omega \times \overline r ] \]

    \[ \vert \overline V_B \vert = \omega \cdot h_{B\omega}, \]

    \[ h_{B\omega} = \vert \overline{BK} \vert = \vert \overline{OB} \vert \cdot \sin 60^o; \]

    \[ \vert \overline{OB} \vert = \frac{h}{\sin 30^o} = \frac{20}{0.5} = 40\;(cm) \]

    \[ h_{B\omega} = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \sqrt{3} \approx34.6\; (cm) \]

    \[ \vert \overline{V_B} \vert = 7.26 \cdot 34.6 \approx 251 \; \left(\frac{cm}{sec}\right) \approx 2.51 \left(\frac{m}{sec}\right). \]

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис.) \overline V_B \uparrow\uparrow \vec{Oz};

    \[ \vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 - 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot \cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) } \]

    \[ \cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) = \cos 120^o = -\sin 30^o = - \frac{1}{2}, \]

тогда

    \[ \vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 + 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot 0.5 } = \]

    \[ \sqrt{36.5^2 + 18.2^2 + 2 \cdot 36.5 \cdot 18.2 \cdot 0.5 } = \]

    \[ \sqrt{ 1332 + 331 + 664 } = 48.2 \left(\frac{m}{cm^2}\right) \]


4.1 Так как точка C in оси ротации O\varepsilon, то ускорение точки C можно определить по формуле:

    \[ \overline W_C = \overline W_{C\eta} + \overline W_{C\tau}, \]

где
\overline W_{C\eta}, \overline W_{C\tau} — нормальное и касательное ускорения точки C, соответственно.

    \[ \vert\overline W_{C\eta}\vert = \frac{V_C^2}{\vert\overline{CN}\vert}; \]

    \[ \vert\overline{CN}\vert = h \cdot \sin 30^o = \frac{h}{2} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\;(cm) = 0.1\;(m) \]

\overline W_{C\tau} = 0; так как

    \[ \vert \overline W_{C\tau} \vert = \plusminus \vert \frac{d\overline V_C}{dt} \vert = 0, \]

так как \vert \overline V_C \vert = const, тогда \overline W_C = \overline W_{C\eta} ;

Комментарий: \overline W_C \uparrow\uparrow \vec{Oy} , так как \overline W_C \perp \vec{Ox} (см.рис.)


4.2 Определить осестремительное ускорение точки C.

    \[ \overline W_C^{oc} = \left[ \overline\omega \times \overline V_C \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \overline r \right] \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \vec{OC} \right] \right]; \]

    \[ \vert \overline W_C^{oc} \vert = \omega^2 \cdot h_{C\omega} \]

    \[ h_{C\omega} = \vert \overline{CP} \vert = \vert \overline{OC} \vert \cdot \sin 60^o = \frac{20\cdot\sqrt{3}}{2} = 10\cdot\sqrt{3}\;(cm) \]

    \[ \vert \overline W_C^{oc} \vert = 7.26^2 \cdot 17.3 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) . \]

Вращательно ускорение точки C:

    \[ \overline W_C^{bp} = \left[ \overline\varepsilon \times \vec{OC} \right]; \]

    \[ \vert \overline W_C^{bp} \vert = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot h_{C\varepsilon} = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot \vert\overline{OC} \vert = 91.2 \cdot 10 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) . \]

Комментарий: \overline W_C^{oc} \downarrow\uparrow \vec{Ox}; \;\; \overline W_C^{bp} \perp \vec{O\varepsilon} ;

12.1 Нахождение ускорений тел механической системы (с одной степенью свободы) с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Нахождение ускорений тел механической системы (с одной степенью свободы) с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Движение системы, которое начинается из состояния покоя, происходит под действием силы тяжести тела 1.
Массы тел 1,2,3, соответственно, равны m_1, m_2, m_3, ok 2 Блог 2-ступенчатый однородный цилиндр радиусов R_1, r_2 с моментом инерции относительно оси симметрии J.
Каток 3 — однородный цилиндр радиуса R_3.
Тела считать абсолютно твердыми а нити — абсолютно нерастяжимыми и невесомыми.
Найти ускорение центра тяжести тела 1 с помощью Общего Уравнения Динамики (ОУД), а также натяжение нитей.
Трением блока 2-3 о наклонную плоскость пренебречь.

Дано:

m_1, m_2, m_3, R_2, r_2, R_3,
J_2 = J
J_3_c = \frac{1}{2}m_3 R_3^2

Определить:

\overline a_1 = ?
Читать далее→

13.1 Нахождение ускорений тел механической системы и реакции связей с помощью Принципа Д’Аламбера

Нахождение ускорений тел механической системы и реакции связей с помощью Принципа Д’Аламбера
Движение системы, которое начинается из состояния покоя, происходит под действием силы тяжести тела 1.
Массы тел 1,2,3, соответственно, равны m_1, m_2, m_3, ok 2 Блог 2-ступенчатый однородный цилиндр радиусов R_1, r_2 с моментом инерции относительно оси симметрии J.
Каток 3 — однородный цилиндр радиуса R_3.
Тела считать абсолютно твердыми а нити — абсолютно нерастяжимыми и невесомыми.
Найти ускорение центра тяжести тела 1 с помощью Общего Уравнения Динамики (ОУД), а также натяжение нитей.
Трением блока 2-3 о наклонную плоскость пренебречь.

Дано:

m_1, m_2, m_3, R_2, r_2, R_3,
J_2 = \frac{1}{2}m_2 R_2^2
J_3_c = \frac{1}{2}m_3 R_3^2

Определить:

\overline a_1 = ? (ОУД)
T_{tp} = ?
M_{tp\;k} = ? (кинетостатика)
Читать далее→

4.2.3 Определение угловых скоростей и ускорений звеньев и скоростей точек при плоско-параллельном (плоском) движении механизма (метод «Мгновенного центра скоростей» и метод » Полюса»)

Рис.1

Рис.1

В положении механизма, указанном на рис.1, определить аналитически и построить на чертеже :

  1. положение мгновенных центров скоростей всех звеньев, совершающих плоское движение;
  2. скорости всех, точек механизма, расположенных в местах соединения звеньев (шарнирах);
  3. угловые скорости всех звеньев;
  4. ускорение точки А;
  5. ускорений других точек механизма методом полюса;
  6. угловые ускорения звеньев;
  7. касательное и нормальное ускорения точки В;
  8. установить характер движения точки В (ускоренное, замедленное, мгновенная остановка).

Читать далее→

12.2 Нахождение ускорений тел механической системы (с двумя степенями свободы) с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода


Однородная нить, к концу которой привязан груз А весом P, огибает неподвижный блок В, охватывает блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E веса P. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f.
К оси блока С прикреплен груз К весом Q, под действием силы тяжести которого происходит движение системы.
Пренебрегая весом блоков В, С, D, определить ускорения грузов А, E, К и натяжение нити.

Дано:

P_A=P
P_E=P,f (коэффициент трения скольжения)
P_K=Q
P_B=P_C = P_D=0

Определить:

\overline W_A, \overline W_E, \overline W_K = ?
S_A = ? (натяжение нити)
Читать далее→

5.1 Определение скоростей и ускорений точек при сложном (относительном) движении

№ 23.47 (Из сб. И,В. Мещерский «Задачи по теоретической механике»/ «Лань», 2008.,448 с.)

Полое кольцо радиуса r жестко соединено с валом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси кольца. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении стрелки часов с постоянной относительной скоростью U.

Вал АВ вращается по направлению стрелки часов, если смотреть по оси вращения от А к В. Угловая скорость вала V постоянна.

Определить величины абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1,2,3,4.
Читать далее→

5.2 Определение ускорений точек при сложном движении с учетом суточного вращения Земли

№ 23.57 (Из сб. И,В. Мещерский «Задачи по теоретической механике»/ «Лань», 2008.,448 с.)

Река Нева течет с востока на запад по параллели 60 градуса северной широты со скоростью V_r = 1.11 \frac{m}{c}
Найти составляющие абсолютного ускорения частицы воды.
Радиус Земли R = 64 \cdot 10^5m

Дано:

V_r = 1.11 \frac{m}{c}
\alpha = 60^o
R = 64 \cdot 10^5m — радиус Земной сферы

Определить:

\overline W_r, \overline W_e, \overline W_c = ?
Читать далее→

1.1 Определение реакций связей при действии на тело ПЛОСКОЙ системы сил

№ 4.28 (Из сб. И,В. Мещерский «Задачи по теоретической механике»/ «Лань», 2008.,448 с.)

Определить реакции заделки консольной балки, изображенной на рисунке и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и пары сил.

Дано:

q=1.5 \frac{kH}{m} \\ M=2 kH \cdot m \\ \alpha = 45^0 \\ F=4 kH \\ a=3m \\ b=2m

Определить:

\overtime R_A (X_A, Y_A) = ?
M_A = ?
Читать далее→

1.3 Определение усилий в стержнях фермы. («Метод вырезания узлов» и «метод Риттера»)

Условие задачи:

Определить усилия в стержнях плоской фермы, находящейся под действием плоской системы сил.

Рис.1

Рис.1

Дано:

P_1=3 kH
P_2=7 kH
P_3=5 kH
a=h=4m
\alpha = 45^o
(весом стержней пренебречь).

Определить:

Усилия в стержнях \overline N_1, \overline N_2, ... , \overline N_{13} (методом вырезания узлов);
\overline N_8, \overline N_9, \overline N_{11} — (методом Риттера),
а так-же реакции опор \overline R_A, \overline R_B.
Читать далее→