Определить, какую направленную вверх наименьшую скорость V_0 надо сообщить телу, чтобы оно поднялось на высоту H.

При подъёме считать силу притяжения изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:
\vert \overline F \vert = \frac{k}{x^2}
H, g, R
V_0 = ?

Граничные условия:
при t=0,
x=R,     V_x=V_0, F_x = - \frac{k}{x^2}, F_x=-mg, mg= -\frac{k}{R^2}

\frac{-k}{R^2} = mg, тогда      k= -mgR^2

x=R+H,     V_x=V=0, F_x = - \frac{k}{(R+H)^2}
F_x = - \frac{mgR^2}{x^2}
m \overline W = \overline F — векторное уравнение движения точки, W_x = \frac{dV_x}{dt}
в проекции на ось ox получим
m \frac{dV_x}{dt} = F_x, \frac{dV_x}{dt} = - \frac{gR^2}{x^2},     ({m \neq 0})

\frac{dV_x}{dt} = - \frac{gR^2}{x^2} \vert \cdot dx, (умножаем обе части уравнения на dx), т.к. V_x = \frac{dx}{dt}

V_x \cdot dV_x = -gR^2 \cdot \frac{dx}{x^2} интегрируем, получим

\int\limits_{V_0}^V V_x d V_x = -gR^2 \frac{dx}{x^2} \int\limits_R^{(R+H)}

\frac{V_x^2}{2} \vert_{V_0}^V = gR^2 \frac{1}{x} \vert_R^{(R+H)}

\frac{V^2}{2} - \frac{V_0^2}{2} = gR^2 ( \frac{1}{R+H} - \frac{1}{R} ),     \frac{V^2-V_0^2}{2} = gR^2 \frac{(R-R-H)}{R(R+H)}

\frac{V_0^2}{2} = \frac{V^2}{2} - gR^2 \frac{(R-R-H)}{R(R+H)}

V_0^2 = V^2 + 2gR^2 \frac{H}{R(R+H)} = 2gR \frac{H}{(R+H)}

Ответ: V_0 = \sqrt{ \frac{2gRH}{R+H}}