Тело брошено под углом \alpha_o к горизонту со скоростью \overline V_o. Определить уравнение траектории тела. Силами сопротивления пренебречь. Оси \vec{ox} и \vec{oy} изображены на рисунке.

Дано: \alpha_o, \overline V_o
Определить: y=f(x)

каноническое уравнение траектории

Начальные условия:
t = t_0 = 0,
x_o=0, y_o = 0
V_{ox} = (\frac{dx}{dt})_o = V_o \cos \alpha_o
V_{oy} = (\frac{dy}{dt})_o = V_o \sin \alpha_o

Запишем векторное уравнение динамики материальной точки.

(1)   \begin{equation*} m \overline W = \sum_{j=1}^{n=1} \overline F_j \end{equation*}

\begin{cases} m \frac{d^2x}{dt^2} = P_x, P_x=0 \\ m \frac{d^2y}{dt^2} = P_y, P_y=-mg \end{cases} \begin{cases} m \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \\ m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg , ( m \neq 0 ) \end{cases}

(2)   \begin{equation*} \frac{d^2x}{dt^2} = 0 \\ \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \frac{d^2y}{dt^2} = -g \end{equation*}

Проинтегрируем уравнения (2) и (3) по отдельности с помощью неопределённых интегралов:

Для уравнения (2): \frac{d^2x}{dt^2}=0
\frac{dx}{dt}=C_1 (произвольная постоянная находится из начальных условий) C_1 = V_o \cos \alpha_o
\frac{dx}{dt}= V_o \cos \alpha_o
\int dx = V_o \cos \alpha_o \int dt
x = V_o t \cos\alpha_o + C_2 (произвольная постоянная находится из начальных условий) C_2=0

Подставляя найденные постоянные C_1 и C_2, получим уравнение

(4)   \begin{equation*} \underline{x=V_o \cdot t \cdot \cos \alpha_o}, x=f(t) \end{equation*}

Для уравнения (3): \frac{d^2y}{dt^2}=-g
V_y=\frac{dy}{dt}
\int d V_y = -g \int dt
V_y = -gt+C_3 (произвольная постоянная находится из начальных условий)
V_o \sin \alpha_o = C_3 ;
V_y = V_o \sin \alpha_o - gt
\frac{dy}{dt} = V_o \sin \alpha_o - gt

\int dy = V_o \sin \alpha_o \int dt - g \int tdt

y = V_o \cdot t \cdot \sin \alpha_o - \frac{gt^2}{2} + C_4 (произвольная постоянная находится из начальных условий)
C_4 = 0

Подставляя найденные постоянные C_3 и C_4, получим уравнение

(5)   \begin{equation*} \underline{y = V_o \cdot t \cdot \sin \alpha_o - \frac{gt^2}{2}} \end{equation*}

Уравнения (4) и (5) — уравнения траектории точки в параметрическом виде;

теперь определим канонический вид уравнения траектории точки.
Из уравнения (4) получим

(6)   \begin{equation*} t = \frac{x}{V_o \cdot \cos \alpha_o} \] \end{equation*}

Подставляя (6) в уравнение (5) получим

    \[ y= \frac{V_o \sin \alpha_o }{V_o \cos \alpha_o } x - \frac{gx^2}{2 \cdot V_o^2 \cos^2 \alpha_o} , \]

тогда

(7)   \begin{equation*} y=x\cdot tg\alpha_o - \frac{g}{2 \cdot V_o^2 \cos^2 \alpha_o} \cdot x^2 \] \end{equation*}

Получили канонический вид уравнения траектории точки: y=f(x) — парабола!

Примечание:
Вид уравнения (7) зависит только от угла бросания \alpha_o и начальной скорости V_o.
Из этого уравнения видно, что траектория не зависит от массы точки.
Это является результатом, используемым в «Основной задаче внешней баллистики» («Параболической теории»).
Таким образом, не зависимо от калибра снаряда его траектория всегда будет параболической, но при условии отсутствия сопротивлению движению.
«Параболическая теория» справедлива для описания движения снарядов больших калибров, летящих с малой скоростью.