Дано:

Прямой круговой конус с углом 2 \alpha при вершине катится по неподвижной плоскости без скольжения делая n оборотов в минуту около вертикальной оси \overline {OX}. Высота конуса — h.

Определить:

1. Алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси \vec{OX} и \vec{O\varepsilon}, соответственно, а также мгновенную угловую скорость конуса.
2. Угловое ускорение конуса.
3. Скорости точек B и C.
4. Ускорение точки B, а также осестремительное и вращательное, нормальное и касательное ускорения точки C.
2\alpha - 120^o; h = 20cm; n = 120 об./мин.

Решение:

1. Точка O — неподвижная точка конуса — начало отсчёта главной Oxyz и подчинённой O\varepsilon\eta ... координатных систем; \vec{OX} — ось прецессии, \vec{O\varepsilon} — ось ротации.


2. Определить угловые скорости прецессии \omega_\psi и ротации \omega_\varphi , мгновенную угловую скорость \omega и мгновенную ось вращение \vec l.

    \[ \overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi + \overline\omega_\theta \]

\omega_\theta = 0, так как \theta — константа
\omega_\theta — угловая скорость нутации, \theta — угол нутации, тогда

    \[ \overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi, \]

определить угловую скорость прецессии по заданному числу оборотов n_\theta.

    \[ \omega_\psi = \frac{2\Pi \cdot n_\psi }{60} = \frac{2\Pi \cdot 120 }{60} = 4\Pi (sec^{-1}) \]

\omega_\psi \in оси \vec{Ox} , \omega_\varphi \in оси \vec{O\varepsilon}
векторное равенство на рисунке.
применим теорему синусов

    \[ frac{\omega_\psi}{\sin 60^o} = \rac{\omega_\varphi}{\sin 90^o} = \frac{\omega}{\sin 30^o}, \]

тогда:

    \[ \omega_\varphi = \frac{\omega_\psi \cdot \sin 90^o}{\sin 60^o} = \frac{\omega_\psi \cdot 1 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8\Pi}{\sqrt{3}} \approx 14.5 (sec^{-1}), \]

    \[ \omega = \omega_\psi \frac{\sin 30^o}{\sin 60^o} = \frac{4\Pi \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx 7.26 (sec^{-1}). \]

Проверим, выполняются ли условия регулярной прецессии:

    \[ \theta = ( \vec{Ox}; \vec{O\varepsilon} ) = 330^o = const_1 \]

    \[ \omega_\psi = 4\Pi \; sec^{-1} = const_2 \]

    \[ \omega_\varphi = 7.26 \; sec^{-1} = const_3 \]


3. В случае регулярной прецессии угловое ускорение конуса \varepsilon является закреплённым вектором в точке O и определяется по формуле:

    \[ \overline \varepsilon = \left[ \overline\omega_\psi \times \overline\omega \right]; \]

    \[ \vert\overline\varepsilon\vert = \vert\overline\omega_\psi\vert\; \vert\overline\omega\vert\; \vert\sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega)\vert = 4\Pi \cdot 7.26 \approx 91.2\;(sec^{-2}); \]

    \[ \sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega) = \sin 90^o = 1. \]

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис) вектор \overline\varepsilon \uparrow\uparrow \vec{Oz}.


4. Определить скорости точек B и C конуса по формуле

    \[ \overline V_B = [ \overline\omega \times \overline r ] \]

    \[ \vert \overline V_B \vert = \omega \cdot h_{B\omega}, \]

    \[ h_{B\omega} = \vert \overline{BK} \vert = \vert \overline{OB} \vert \cdot \sin 60^o; \]

    \[ \vert \overline{OB} \vert = \frac{h}{\sin 30^o} = \frac{20}{0.5} = 40\;(cm) \]

    \[ h_{B\omega} = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \sqrt{3} \approx34.6\; (cm) \]

    \[ \vert \overline{V_B} \vert = 7.26 \cdot 34.6 \approx 251 \; \left(\frac{cm}{sec}\right) \approx 2.51 \left(\frac{m}{sec}\right). \]

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис.) \overline V_B \uparrow\uparrow \vec{Oz};

    \[ \vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 - 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot \cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) } \]

    \[ \cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) = \cos 120^o = -\sin 30^o = - \frac{1}{2}, \]

тогда

    \[ \vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 + 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot 0.5 } = \]

    \[ \sqrt{36.5^2 + 18.2^2 + 2 \cdot 36.5 \cdot 18.2 \cdot 0.5 } = \]

    \[ \sqrt{ 1332 + 331 + 664 } = 48.2 \left(\frac{m}{cm^2}\right) \]


4.1 Так как точка C in оси ротации O\varepsilon, то ускорение точки C можно определить по формуле:

    \[ \overline W_C = \overline W_{C\eta} + \overline W_{C\tau}, \]

где
\overline W_{C\eta}, \overline W_{C\tau} — нормальное и касательное ускорения точки C, соответственно.

    \[ \vert\overline W_{C\eta}\vert = \frac{V_C^2}{\vert\overline{CN}\vert}; \]

    \[ \vert\overline{CN}\vert = h \cdot \sin 30^o = \frac{h}{2} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\;(cm) = 0.1\;(m) \]

\overline W_{C\tau} = 0; так как

    \[ \vert \overline W_{C\tau} \vert = \plusminus \vert \frac{d\overline V_C}{dt} \vert = 0, \]

так как \vert \overline V_C \vert = const, тогда \overline W_C = \overline W_{C\eta} ;

Комментарий: \overline W_C \uparrow\uparrow \vec{Oy} , так как \overline W_C \perp \vec{Ox} (см.рис.)


4.2 Определить осестремительное ускорение точки C.

    \[ \overline W_C^{oc} = \left[ \overline\omega \times \overline V_C \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \overline r \right] \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \vec{OC} \right] \right]; \]

    \[ \vert \overline W_C^{oc} \vert = \omega^2 \cdot h_{C\omega} \]

    \[ h_{C\omega} = \vert \overline{CP} \vert = \vert \overline{OC} \vert \cdot \sin 60^o = \frac{20\cdot\sqrt{3}}{2} = 10\cdot\sqrt{3}\;(cm) \]

    \[ \vert \overline W_C^{oc} \vert = 7.26^2 \cdot 17.3 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) . \]

Вращательно ускорение точки C:

    \[ \overline W_C^{bp} = \left[ \overline\varepsilon \times \vec{OC} \right]; \]

    \[ \vert \overline W_C^{bp} \vert = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot h_{C\varepsilon} = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot \vert\overline{OC} \vert = 91.2 \cdot 10 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) . \]

Комментарий: \overline W_C^{oc} \downarrow\uparrow \vec{Ox}; \;\; \overline W_C^{bp} \perp \vec{O\varepsilon} ;