II. Кинематика | Татьянина математика в Раю теормеха

Дано:

Прямой круговой конус с углом $2 \alpha$ при вершине катится по неподвижной плоскости без скольжения делая n оборотов в минуту около вертикальной оси $\overline {OX}$ . Высота конуса — h.

Определить:

1. Алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси $\vec{OX}$ и $\vec{O\varepsilon}$ , соответственно, а также мгновенную угловую скорость конуса.
2. Угловое ускорение конуса.
3. Скорости точек B и C.
4. Ускорение точки B, а также осестремительное и вращательное, нормальное и касательное ускорения точки C.
$2\alpha - 120^o;$ h = 20cm; n = 120 об./мин.

Решение:

1. Точка O — неподвижная точка конуса — начало отсчёта главной $Oxyz$ и подчинённой $O\varepsilon\eta ...$ координатных систем; $\vec{OX}$ — ось прецессии, $\vec{O\varepsilon}$ — ось ротации.

2. Определить угловые скорости прецессии $\omega_\psi$ и ротации $\omega_\varphi$ , мгновенную угловую скорость $\omega$ и мгновенную ось вращение $\vec l$ .

$\overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi + \overline\omega_\theta$

$\omega_\theta = 0$ , так как $\theta$ — константа
$\omega_\theta$ — угловая скорость нутации, $\theta$ — угол нутации, тогда

$\overline\omega=\overline\omega_\psi + \overline\omega_\varphi,$

определить угловую скорость прецессии по заданному числу оборотов $n_\theta$ .

$\omega_\psi = \frac{2\Pi \cdot n_\psi }{60} = \frac{2\Pi \cdot 120 }{60} = 4\Pi (sec^{-1})$

$\omega_\psi \in$ оси $\vec{Ox} , \omega_\varphi \in$ оси $\vec{O\varepsilon}$
векторное равенство на рисунке.
применим теорему синусов

$frac{\omega_\psi}{\sin 60^o} = \rac{\omega_\varphi}{\sin 90^o} = \frac{\omega}{\sin 30^o},$

тогда:

$\omega_\varphi = \frac{\omega_\psi \cdot \sin 90^o}{\sin 60^o} = \frac{\omega_\psi \cdot 1 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8\Pi}{\sqrt{3}} \approx 14.5 (sec^{-1}),$

$\omega = \omega_\psi \frac{\sin 30^o}{\sin 60^o} = \frac{4\Pi \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx 7.26 (sec^{-1}).$

Проверим, выполняются ли условия регулярной прецессии:

$\theta = ( \vec{Ox}; \vec{O\varepsilon} ) = 330^o = const_1$

$\omega_\psi = 4\Pi \; sec^{-1} = const_2$

$\omega_\varphi = 7.26 \; sec^{-1} = const_3$

3. В случае регулярной прецессии угловое ускорение конуса $\varepsilon$ является закреплённым вектором в точке O и определяется по формуле:

$\overline \varepsilon = \left[ \overline\omega_\psi \times \overline\omega \right];$

$\vert\overline\varepsilon\vert = \vert\overline\omega_\psi\vert\; \vert\overline\omega\vert\; \vert\sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega)\vert = 4\Pi \cdot 7.26 \approx 91.2\;(sec^{-2});$

$\sin( \overline\omega_\psi ; \overline\omega) = \sin 90^o = 1.$

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис) вектор $\overline\varepsilon \uparrow\uparrow \vec{Oz}$ .

4. Определить скорости точек B и C конуса по формуле

$\overline V_B = [ \overline\omega \times \overline r ]$

$\vert \overline V_B \vert = \omega \cdot h_{B\omega},$

$h_{B\omega} = \vert \overline{BK} \vert = \vert \overline{OB} \vert \cdot \sin 60^o;$

$\vert \overline{OB} \vert = \frac{h}{\sin 30^o} = \frac{20}{0.5} = 40\;(cm)$

$h_{B\omega} = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \sqrt{3} \approx34.6\; (cm)$

$\vert \overline{V_B} \vert = 7.26 \cdot 34.6 \approx 251 \; \left(\frac{cm}{sec}\right) \approx 2.51 \left(\frac{m}{sec}\right).$

Комментарий: По правилу векторного произведения (см.рис.) $\overline V_B \uparrow\uparrow \vec{Oz};$

$\vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 - 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot \cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) }$

$\cos \left( \overline W_B^{bp} ; \overline W_B^{oc} \right) = \cos 120^o = -\sin 30^o = - \frac{1}{2},$

тогда

$\vert \overline{W_B} \vert = \sqrt{ \vert \overline{W_B^{bp}} \vert^2 + \vert \overline{W_B^{oc}} \vert^2 + 2 \vert \overline{W_B^{bp}} \vert \cdot \vert \overline{W_B^{oc}} \vert \cdot 0.5 } =$

$\sqrt{36.5^2 + 18.2^2 + 2 \cdot 36.5 \cdot 18.2 \cdot 0.5 } =$

$\sqrt{ 1332 + 331 + 664 } = 48.2 \left(\frac{m}{cm^2}\right)$

4.1 Так как точка C $in$ оси ротации $O\varepsilon$ , то ускорение точки C можно определить по формуле:

$\overline W_C = \overline W_{C\eta} + \overline W_{C\tau},$

где
$\overline W_{C\eta}, \overline W_{C\tau}$ — нормальное и касательное ускорения точки C, соответственно.

$\vert\overline W_{C\eta}\vert = \frac{V_C^2}{\vert\overline{CN}\vert};$

$\vert\overline{CN}\vert = h \cdot \sin 30^o = \frac{h}{2} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\;(cm) = 0.1\;(m)$

$\overline W_{C\tau} = 0;$ так как

$\vert \overline W_{C\tau} \vert = \plusminus \vert \frac{d\overline V_C}{dt} \vert = 0,$

так как $\vert \overline V_C \vert = const$ , тогда $\overline W_C = \overline W_{C\eta}$ ;

Комментарий: $\overline W_C \uparrow\uparrow \vec{Oy}$ , так как $\overline W_C \perp \vec{Ox}$ (см.рис.)

4.2 Определить осестремительное ускорение точки C.

$\overline W_C^{oc} = \left[ \overline\omega \times \overline V_C \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \overline r \right] \right] = \left[ \overline\omega \times \left[ \overline \omega \times \vec{OC} \right] \right];$

$\vert \overline W_C^{oc} \vert = \omega^2 \cdot h_{C\omega}$

$h_{C\omega} = \vert \overline{CP} \vert = \vert \overline{OC} \vert \cdot \sin 60^o = \frac{20\cdot\sqrt{3}}{2} = 10\cdot\sqrt{3}\;(cm)$

$\vert \overline W_C^{oc} \vert = 7.26^2 \cdot 17.3 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) .$

Вращательно ускорение точки C:

$\overline W_C^{bp} = \left[ \overline\varepsilon \times \vec{OC} \right];$

$\vert \overline W_C^{bp} \vert = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot h_{C\varepsilon} = \vert\overline\varepsilon\vert \cdot \vert\overline{OC} \vert = 91.2 \cdot 10 = 912\;(\frac{cm}{sec^2}) = 91.2\;(\frac{m}{sec^2}) .$

Комментарий: $\overline W_C^{oc} \downarrow\uparrow \vec{Ox}; \;\; \overline W_C^{bp} \perp \vec{O\varepsilon} ;$

№ 23.47 (Из сб. И,В. Мещерский «Задачи по теоретической механике»/ «Лань», 2008.,448 с.)

Полое кольцо радиуса r жестко соединено с валом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси кольца. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении стрелки часов с постоянной относительной скоростью U.

Вал АВ вращается по направлению стрелки часов, если смотреть по оси вращения от А к В. Угловая скорость вала V постоянна.

Определить величины абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1,2,3,4.
Читать далее→

Category Archives

4.3.1 Вращение твёрдого тела вокруг (около) неподвижной точки

Дано:

Определить:

Решение:

5.1 Определение скоростей и ускорений точек при сложном (относительном) движении

5.2 Определение ускорений точек при сложном движении с учетом суточного вращения Земли

Дано:

Определить: