Вариант №14 из сборника Колебания механических систем: пособие по выполнению РГР / Г.Т. Алдошин, Н.Н. Дмитриев  и др..; Балт.  гос.техн. ун-т.-СПб., 2016.- 79 с.)

Окружность радиусом R равномерно вращается с угловой скоростью \omega вокруг вертикальной оси O.

По окружности может скользить без трения материальная точка M, имеющая массу m.

Определить:
  1. Равновесные положения точки в ее движении относительно окружности;
  2. Устойчивость этих положений;
  3. Периоды свободных малых колебаний точки около устойчивых положений равновесия;
  4. Малые вынужденные колебания точки около устойчивого положения равновесия \varphi = 0, если ось вращения окружности O движется поступательно вдоль оси \vec{ox} с постоянным ускорением w,а

Решение

1. На точку действует сила сопротивления, \Phi_{conp} = -bV_r где R_v – скорость
точки относительно окружности.

Примем за обобщённую координату \varphi , где \dot\varphi — обобщённая скорость. (Число степеней свободы равно 1)

2. Определим кинетическую энергию системы.

T=T_1+T_2 , но T_2=0, т.к. масса окружности мала по сравнения с массой точки M.

T = \frac{m}{2}V_a^2

V_a — абсолютная скорость точки М относительно неподвижной оси \vec{o\eta}

\overline{V_a} = \overline{V_e} + \overline{V_r}, где \overline{V_e} — переносная скорость точки М.

V_e = \omega h_e = \omega R \sin \varphi

\overline{V_e} \perp o\eta\xi — плоскость окружности

\overline{V_r} \perp om — , \overline{V_r} принадлежит плоскости o\eta\xi

(1)   \begin{equation*} h_e = \vert MK \vert \end{equation*}

h_e = \vert MK \vert — расстояние до оси \vec{o\eta}

тогда \overline{V_e} \perp \overline{V_r} ; \vert MK \vert = R\sin(\varphi)

По теореме косинусов определим \overline{V_a}.

V_a = \sqrt{V_e^2+V_r^2 - 2V_eV_r \cos(\overline{V_e} ,^\wedge \overline{V_r})}

(2)   \begin{equation*} V_a = \sqrt{V_e^2+V_r^2} ; V_r = R \dot\varphi \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} V_a = \sqrt{ \omega^2 R^2 sin^2 \varphi + R^2\dot\varphi^2 } = R \sqrt{\omega^2 sin^2 \varphi + \dot\varphi^2 } \end{equation*}

3. Подставляя (3) в выражение для кинетической энергии, получим

(4)   \begin{equation*} T = \frac{m}{2} R^2 (\omega^2 \sin^2 \varphi + \dot\varphi^2 ) \end{equation*}

Используя (4), определим значение коэффициента квазиинерционности: a= \frac{2T}{\dot\varphi^2}

(5)   \begin{equation*} a = mR^2 ( \frac{\omega^2}{\dot\varphi^2} \sin^2 \varphi +1) \end{equation*}

4.Теперь определим обобщенную силу Q, соответствующую выбранной обобщённой координате \varphi и учитывая, что действующие силы на точку М консервативные, используем зависимость

(6)   \begin{equation*} Q = - \frac{d \Pi}{ d \varphi} \end{equation*}

обобщённую силу найдём из выражения для виртуальной работы

(7)   \begin{equation*} \delta A = Q \delta q = Q \delta \varphi \end{equation*}

для случая с одной степенью свободы.

\delta A = - mg \sin\varphi R \delta \varphi \rightarrow \delta A = Q \delta \varphi, то

(8)   \begin{equation*} Q = -mgR sin \varphi \end{equation*}

Условие, из которого находим значение положения равновесия точки М:

(9)   \begin{equation*} ( \frac{ d \Pi}{ d \varphi })_{\varphi_{pb}} = 0 \end{equation*}

mgR sin \varphi = 0 \rightarrow \varphi_{pb} = 0, \pi , т.е. \varphi_{pb_1} = 0; \varphi_{pb_2}=\pi

5. Проверим устойчивость положений равновесия по критерию Лагранжа-Дирихле:

( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} )_{pb} > 0 — положение равновесия устойчиво!

(\frac{\delta^2\Pi}{\delta\varphi^2})_{pb} < 0 — положение равновесия неустойчиво!

\varphi_{pb1} = 0 : найдём вторую производную от потенциальной энергии точки М и подставим в полученное выражение значения \varphi_{pb1} =0

\frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} = \frac{d}{d\varphi} ( mgR \sin \varphi ) = mgR \cos \varphi

(10)   \begin{equation*} \frac{d^2 \Pi}{d \varphi^2} = mgR \cos \varphi \end{equation*}

(\frac{d^2\Pi}{d\varphi^2})_{\varphi_{pb_1=0}} = mg > 0 , \varphi_{pb_1} = 0 , устойчиво !!!

(\frac{d^2\Pi}{d\varphi^2})_{\varphi_{pb_2=0}} = -mg < 0, (\cos \pi = -1 ) \rightarrow \varphi_{pb_2} = \pi — неустойчиво!

Другой способ:

\Pi = \Pi_0 + mgh ; h = (R-R\cos \varphi )

\Pi = \Pi_0 + mgR (1-\cos \varphi ) — потенциальная энергия.

\frac{d\Pi}{d\varphi} = mgR \sin \varphi ; Q= - \frac{d\Pi}{d \varphi} ( см. выше )

\frac{d\Pi}{d\varphi} \vert_{\varphi_{pb}} = 0 \rightarrow ; mgR \sin \varphi_{pb} = 0 \rightarrow \sin \varphi_{pb} = 0 \rightarrow \varphi_{pb} = 0 , \pi. (см. выше, далее так же)

Коэффициент квазиупругости:

C = ( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} )_{\varphi_{pb=0}} = mg; ( \cos \varphi_{pb} \approx 1 )

6. Определить период малых колебаний

(11)   \begin{equation*} \tau = \frac{2\pi}{k} = 2\pi \sqrt{\frac{a}{c}} \end{equation*}

— период малых свободных колебаний

при \varphi_{pb_1} = 0 , a = mR^2 ( \frac{\omega^2}{\dot\varphi^2} \varphi_{pb_1}^2 + 1 ) = mR^2

подставляем a и c в формулу (11) получим

(12)   \begin{equation*} \tau = 2\pi \sqrt \frac{R}{g} \end{equation*}

( \sin \varphi_{\varphi \rightarrow 0} \approx \varphi ) ;

7. Рассмотрим вынужденные колебания точки М, если при этом на точку действует сила сопротивления. \Phi_{conp} = -bV_r и сама окружность перемещается вдоль оси \vec{ox} с ускорением W=const.

(13)   \begin{equation*} \Phi_{conp} = -mW \cos(\omega t + \varphi ) \end{equation*}

(см. рис. 2)

Запишем уравнение свободных малых колебаний в каноническом виде в присутствии силы сопротивления движению точки М.

(14)   \begin{equation*} \ddot\varphi + k^2 \varphi - b R \dot\varphi = 0 \end{equation*}

с учётом вынуждающей силы уравнение вынужденных малых колебаний точки М около устойчивого положения равновесия (уравнение (14)) дополним:

(15)   \begin{equation*} \ddot\varphi + k^2 \varphi - bR \dot\varphi = mW \cos(\omega t + \varphi) \end{equation*}

8. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (15):

Характеристическое уравнение имеет вид

(16)   \begin{equation*} \lambda^2 - bR\lambda + k^2 = 0 \end{equation*}

( решаем однородное уравнение и найдём его общее решение, обозначим \varphi_{odn} )

\lambda_{1,2} = \frac{ bR \pm \sqrt{b^2R^2 - 4k^2 } }{2} ;

a) пусть b^2R^2 > 4k^2 , тогда

(17)   \begin{equation*} \varphi_{odn} = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \end{equation*}

b) если b^2R^2 = 4k^2 , то \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_{1,2} = \frac{bR}{2}, (т.к. b^2R2-4k^2=0)

(18)   \begin{equation*} \varphi_{odn} = e^{\lambda_1 t} (C_1+C_2 t) \end{equation*}

в) если b^2R^2 < 4k^2 , то

\lambda_{1,2} = \frac{ bR \pm \sqrt{b^2R^2 - 4k^2 } }{2} = \frac{ bR \pm \sqrt{ 4k^2-b^2R^2 i} }{2} = \frac{bR}{2} \pm \frac{ \sqrt{4k^2-b^2R^2 i } }{2}

(19)   \begin{equation*} \varphi_{odn} = e^{\frac{bR}{2}} ( C_1 \cos \frac{ \sqrt{4k^2 - b^2R^2} }{2} t + C_2 \sin \frac{ \sqrt{4k^2 - b^2R^2} }{2} t ) \end{equation*}

Частное решение неоднородного уравнения (15) :

(20)   \begin{equation*} \varphi^* = B \cos \omega t \end{equation*}

\dot\varphi^* = -B\omega \sin \omega t \\ \ddot\varphi^* = -B \omega^2 \cos \omega t — подставляем в уравнение (15), получаем:

(21)   \begin{equation*} \varphi = \varphi_{odn} + \varphi^* \end{equation*}

— полное решение уравнения.

-B \omega^2 \cos \omega t +bRB \omega \sin \omega t + k^2 B \cos \omega t = mW \cos \omega t

сравним коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:

-B\omega^2 + k^2 B = mW \rightarrow B = \frac{mW}{k^2-\omega^2} , подставляем в (20), тогда

(22)   \begin{equation*} \varphi^* = \frac{mW}{k^2 - \omega^2} \cos \omega t \end{equation*}

Вернёмся к уравнению (21), получим

а) \varphi = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} + \frac{mW}{k^2-\omega^2 } \cos \omega t ; уравнение вынужденных колебаний точки М если b^2R^2 > 4k^2

б) \varphi = e^{\lambda_1 t} (C_1+C_2t ) + \frac{mW}{k^2-\omega^2 } \cos \omega t; уравнение вынужденных колебаний точки М если b^2R^2 = 4k^2

в) \varphi = e^{\frac{bR}{2} } ( C_1 \cos \frac{ \sqrt{ 4k^2 - b^2R^2} }{2} t + C_2 \sin \frac{ \sqrt{ 4k^2 - b^2R^2} }{2} t ) + \frac{nW}{k^2\omega^2} \cos \omega t — уравнение вынужденных колебаний точки М если b^2R^2 < 4k^2