Нахождение ускорений тел механической системы и реакции связей с помощью Принципа Д’Аламбера
Движение системы, которое начинается из состояния покоя, происходит под действием силы тяжести тела 1.
Массы тел 1,2,3, соответственно, равны m_1, m_2, m_3, ok 2 Блог 2-ступенчатый однородный цилиндр радиусов R_1, r_2 с моментом инерции относительно оси симметрии J.
Каток 3 — однородный цилиндр радиуса R_3.
Тела считать абсолютно твердыми а нити — абсолютно нерастяжимыми и невесомыми.
Найти ускорение центра тяжести тела 1 с помощью Общего Уравнения Динамики (ОУД), а также натяжение нитей.
Трением блока 2-3 о наклонную плоскость пренебречь.

Дано:

m_1, m_2, m_3, R_2, r_2, R_3,
J_2 = \frac{1}{2}m_2 R_2^2
J_3_c = \frac{1}{2}m_3 R_3^2

Определить:

\overline a_1 = ? (ОУД)
T_{tp} = ?
M_{tp\;k} = ? (кинетостатика)

Решение:

I. Применим (ОУД) — общее уравнение динамики для опеределения: \overline a_1 = ?

Изобразим ускорения точек и угловое ускорение звеньев (с условным направлением), так (см.рис.) \overline a_{3c} и \overline\varepsilon_3,
соответственно, силы инерции и момент инерции добавим к активным силам системы (\overline P_1, \overline P_2, \overline P_3),
а именно: \vert \overline \Phi_1^u \vert = m_1 a_A, \;\; \overline\Phi_1^u \uparrow\downarrow \overline a_A ,
и \overline\Phi_{3C}^u = - m_3 \cdot \overline a_{3C} и момент \overline M_3^u = - J_{3C} \cdot \overline\varepsilon_3; \;\; M_2^u = J_2 \cdot \varepsilon_2

1. Запишем общее уравнение динамики (ОУД)

(1)   \begin{equation*} \sum{}{} \delta A^{akt} + \sum{}{} \delta A^{in} = 0 \end{equation*}

2. Сообщаем системе возможные элементарные перемещения и, составляя уравнение (1), получим
(при этом воспользуемся кинематическими соотношениями)

(2)   \begin{equation*} \begin{split} m_1 g \cdot dS_A - \Phi_1^u \cdot \delta S_A - M_3^u d \varphi_2 - \\ - m_3 g \cdot \sin 30^o \cdot \delta S_{3C} + \\ + \Phi_{3C}^u \cdot \delta S_{3C} - M_3^u d\varphi_3 = 0 \end{split} \end{equation*}

3. Выразим все возможные перемещения через \delta S_A, т.е. \delta\varphi_2, \delta S_{3C}, \delta\varphi_3

4. Кинетические соотношения: dS_A = \delta\varphi_2 \cdot R_2

    \[ \omega_2 = \frac{V_A}{R_2}; \;\; \frac{d\varphi_2}{dt} = \frac{1}{R_2} \cdot \frac{dS_A}{dt} \rightarrow \delta\varphi_2=\frac{dS_A}{R_2} \]

    \[ \omega_3 = \frac{V_C}{R_3}; \;\; \frac{V_C}{V_A} = \frac{r_2}{R_2} \rightarrow V_C= \frac{r_2}{R_2} \cdot V_A; \]

    \[ \frac{dS_3}{dt} = \frac{r_2}{R_2} \cdot \frac{dS_A}{dt} \rightarrow dS_{3C} = \frac{r_2}{R_2} \cdot dS_A \]

    \[ \omega_3 = \frac{r_2}{R_2} \cdot \frac{V_A}{R_3}; \;\; \frac{d\varphi_3}{dt} = \frac{r_2}{R_2 \cdot R_3} \cdot \frac{dS_A}{dt} \rightarrow d\varphi_3 = \frac{r_2}{R_2 \cdot R_3} \cdot dS_A \]

соотношения для уравнений

    \[ \varepsilon_3 = \frac{d\omega_3}{dt} = \frac{d^2\varphi_3}{dt^2} = \frac{r_2}{R_3 \cdot R_2} \frac{d^2S_A}{dt^2} = \frac{r_3}{R_3 \cdot R_2} \cdot \overline O_A \]

    \[ \varepsilon_2 = \frac{a_1}{R_2}; \]

    \[ \varepsilon_3 = \frac{r_2}{R_3 \cdot R_2} \cdot a_A; \]

    \[ a_{3C} = \frac{r_2}{R_2} \cdot a_A; \]

5. Подставим полученные кинематические соотношения в уравнение (2), получим:

(3)   \begin{equation*} \begin{split} m_1g \cdot dS_A - m_1 a_A dS_A - J_2 \frac{G_A}{R_2} \delta S_A - \frac{m_2 g}{2} \frac{r_2}{R_2} \cdot dS_A + \\ + m_3 \left( \frac{r_2}{R_2} \right)^2 - a_A \cdot dS_A - \frac{m_3}{2} \left( \frac{r_2}{R_2} \right)^2 \cdot a_A \cdot dS_A = 0 \end{split} \end{equation*}


Перепишем уравнение (3), при этом вынесем \delta S_A за фигурную скобку, тогда, чтобы уравнение (3) выполнялось, нужно выражение в фигурных скобках приравнять к нулю, т.к. \delta S_A \neq 0, получим

(4)   \begin{equation*} \begin{split} \bigg\{ g \cdot \left( m_1 - \frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2} \right) - \left[ \frac{J_2}{R_2} + m_1 + m_3 \left( \frac{r_2}{R_2} \right)^2 + \\ + \frac{m_3}{2} \cdot R_3^2 \cdot \frac{r_2^2}{R_3 \cdot R_2} \cdot \frac{1}{R_3 \cdot R_2} \Bigg] a_A \bigg\} dS_A = 0 \end{split} \end{equation*}

Решая уравнение (4) относительно a_A, получим

(5)   \begin{equation*} a_A = a_1 = \frac{ \left[ m_1 - \frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2} \right] g }{ \left[ \frac{J_2}{R_2} + m_1 + \frac{3}{2} m_3 \left( \frac{r_2}{R_2} \right)^2 \right] } \end{equation*}

— ускорение тела 1.

Примечание:
Движение тела 1 будет ускоренным при условии, что m_1 > \frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2} и замедленным если m_1 < \frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2}

II

a). Определить натяжение нити на участке между телами 2 и 1: Применим принцип Д’Аламбера.

На рисунке \downarrow\overline a_A, \;\; \delta S_A \downarrow

Сообщив телу 1 возможное перемещение \delta S_A и полагая условно, что тело 1 движется ускоренно под действием силы тяжести, и добавив силу инерции \Phi_1^u, запишем в соответствии с принципом Д’Аламбера:

(6)   \begin{equation*} \sum{}{} F=0; \;\;\;\; m_1g - \Phi_1^u - T_{1-2} = 0 \end{equation*}

где \overline\Phi_1^u = - m_1 \overline a_1 -сила инерции, приложенная к телу 1.
T_{1-2} — сила натяжения нити.

Из уравнения (6) получим: с учётом известного теперь из п.I значения для ускорения тела 1 \overline a_A = \overline a_1
T_{1-2} = m_1g - \Phi_1^u
Окончательно получаем:

    \[ T_{1-2} = m_1g - m_1a_A = m_1(g-a_A) = m_1g \left[ \frac{m_1-\frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2} }{m_1+ \frac{J_2}{R_2} + \frac{3}{2} m_3 ( \frac{r_2}{R_2} )^2 } \right] \]



b). Определить натяжение нити на участке между телами 2 и 3.

    \[ M_2^u = J_2\varepsilon_2 = J_2 \cdot \frac{a_A}{R_2} \]

    \[ \Phi_1^u = m_1 \cdot a_A \]

    \[ \Phi_3^u = m_3 \cdot \frac{r_2}{R_2} \cdot a_A \]

Составим уравнение Д’Аламбера \sum{}{} \delta A (F_n) + \sum{}{} \delta A (\Phi_n^u) = 0

(7)   \begin{equation*} \begin{split} m_1g \cdot \delta S_A - m_1\cdot a_A \cdot \delta S_A - \\ - T_{3-2} \cdot \delta S_{3C} - J_2\cdot\frac{a_A}{R_2}\cdot \delta\varphi_2 = 0 \end{split} \end{equation*}

С учётом кинематических соотношений перепишем (7) и получим

    \[ \begin{split} m_1g \cdot (1-\frac{a_A}{g}) \cdot \delta S_A - \\ - T_{3-2} \cdot \frac{r_2}{R_2} \delta S_A - J_2 \frac{a_A}{R_2^2} \delta S_A = 0 \end{split} \]

так как \delta S_A \neq 0, то

(8)   \begin{equation*} m_1g - \left( m_1 + \frac{J_2}{R_2} \right) a_A - T_{3-2} \cdot \frac{r_2}{R_2} =0 \end{equation*}

Решая (8) относительно T_{3-2}, получим ответ:

    \[ T_{3-2} = \frac{R_2}{r_2} \cdot m_1g \left[ 1 - \frac{m_1 - \frac{m_3}{2} \frac{r_2}{R_2} }{m_1+\frac{J_2}{R_2}+\frac{3m_3}{2} (\frac{r_2}{R_2})^2 } \right] \]