№ 8.24 (Из сб. И,В. Мещерский «Задачи по теоретической механике»/ «Лань», 2008.,448 с.)

Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира A и петли B и удерживается в горизонтальном положении веревкой CE, привязанной в точке C рамы и к гвоздю E, вбитому в стену на одной вертикали с A, причем ∠ECA=∠BAC=30°. Определить натяжение веревки и опорные реакции.

Дано:

P=200H
\alpha=30^o

Определить:

\overline R_A(X_A,Y_A,Z_A)
\overline R_B(X_B,0,Z_B)
\vert \overline T \vert = ?

    \[ \overline F_j : \{ \overline P; \overline R_A, \overline R_B, \overline T \} \]

(1)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} F_{jx}=0; \;\;\; \vert X_A \vert - \vert T \vert \cos \alpha \sin \alpha + \vert X_B \vert = 0 \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} F_{jy}=0; \;\;\; \vert Y_A \vert - \vert T \vert \cos \alpha \cos \alpha = 0 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} F_{jz}=0; \;\;\; \vert Z_A \vert + \vert Z_B \vert + \vert T \vert \sin \alpha - P = 0 \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} M_{AX} (\vert F_J \vert ) =0; \;\;\; -P \frac{\vert AB \vert}{2} + \vert ZB \vert \vert AB \vert + \vert T\vert \sin \alpha \vert AB \vert = 0 \;\;\; (\vert AB \vert \neq 0) \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} M_{AY} (\vert F_J \vert ) =0; \;\;\; P \frac{\vert BC \vert}{2} - \vert T \vert \sin \alpha \vert BC \vert = 0 \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \sum_{j=1}^{n=4} M_{AZ} (\vert F_J \vert ) =0; \;\;\; - \vert X_B \vert \cdot \vert AB \vert = 0 \end{equation*}

Из (6) \rightarrow X_B=0

Из (5) \rightarrow \vert T \vert = \frac{P}{2 \sin \alpha} = \frac{200}{2 \cdot 0.5} = 200 (H)

Из (4) \rightarrow \vert Z_B \vert = \frac{P}{2} - T \sin \alpha = 100 - 200 \cdot 0.5 = 0

Из (3) \rightarrow \vert \overline Z_A \vert = P- \vert Z_B \vert - \vert T \vert \sin \alpha = 200-200 \cdot 0.5 = 100 (H)

Из (2) \rightarrow \vert \overline Y_A \vert = \vert T \vert \cos^2 \alpha = 200 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 150 (H)

Из (1) \rightarrow \vert \overline X_A \vert = \vert T \vert \cos \alpha \sin \alpha - \vert X_B \vert = 200 \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 50 \sqrt{3} = 86.6 (H)

Ответ:

\overline R_A(86.6;150;100)H
\overline R_B(0;0;0)H
\vert T \vert = 200H