Вариант №21 (из сборника Колебания механических систем: пособие по выполнению РГР / Г.Т. Алдошин, Н.Н. Дмитриев и др..; Балт. гос.техн. ун-т.-СПб., 2016.- 79 с.)

Однородное зубчатое колесо массой «m» и радиусом «r» находится во внешнем зацеплении с неподвижным колесом радиуса R = 2r .

К оси подвижного колеса прикреплены две пружины (одинаковые), концы которых B и C расположены на горизонтальном диаметре неподвижного колеса. При \varphi=0 пружины находятся в свободном состоянии.

Пренебрегая весом кривошипа «ОА», определить:

  1. Жёсткость пружины, при которой положение \varphi=0 является положением устойчивого равновесия.
  2. Период малых свободных колебаний системы около данного положения равновесия
  3. Малые колебания системы около положения равновесия \varphi=0 при нулевых начальных условиях если на кривошип действует момент M_z = M_o e^{\frac{-\tau}{T}}, где T — период свободных колебаний системы.

Дано: m, r, R, m_{kp} = 0 ; \varphi_{pb} = \varphi = 0

Определить (1), (2), (3)
1. Определить жесткость пружины, при которой положение равновесия \varphi=0 является положением устойчивого равновесия.

Условие устойчивого положения равновесия:

\left( \frac{d^2 \Pi}{d\varphi^2} \right)_{\varphi_{pb}} > 0 (1), \left( \frac{d \Pi}{d\varphi} \right)_{\varphi_{pb}=0} = 0 (отсюда находится положение равновесия \varphi_{pb} ).

За обобщенную координату принимаем \varphi, \dot\varphi — обобщённая скорость.

Для нахождения потенциальной энергии \Pi системы: \Pi = \Pi_0 + mgh = \Pi_o + mg (R+r) \cos \varphi

\Pi_0 = константа. h=(R+r) \cos \varphi = 3r \cos \varphi

\Pi = \Pi_o+3ngr \cos \varphi

\frac{d\Pi}{d\varphi} = -3mgr\sin \varphi (кстати, при \varphi_{pb}=0 ; \frac{d\Pi}{d\varphi} = 0 ), т.е. \varphi_{pb}=0 является положением равновесия системы.

\frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} = -3mgr\cos \varphi ; при \varphi_{pb}=0 ; получим \left( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} \right)_{\varphi_{pb}} = -3mgr. < 0 ( \cos 0 = 1 )

Примечание: Без пружин \varphi_{pb}=0, неустойчиво.

Запишем выражение для потенциальной энергии системы, когда имеются пружины, жесткость которых следует определить, а именно:

при двух пружинах — \Pi = \Pi_o+3mgr\cos \varphi + c \varphi^2 (3).

\frac{d\Pi}{d\varphi} = -3mgr\sin \varphi + 2c \varphi (4).

\frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} = -3mgr \cos \varphi + 2c (5), при \varphi_{pb}=0 ; \left( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} \right)_{\varphi_{pb}=0} = 2c-3mrg.

подставляем в (5) значение \varphi_{pb}=0, получим:

\left( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} \right)_{\varphi_{pb}=0} = -3mgr + 2c > 0, тогда 2c > 3mgr; c > \frac{3mgr}{2} — жёсткость пружины, при которой \varphi_{pb}=0 будет устойчиво.

2. Определить период малых колебаний системы около положения равновесия \varphi_{pb}=0…

\tau = \frac{2\Pi}{k} (6), где k — циклическая частота малых свободных колебаний системы.

Дифференциальное уравнение свободных малых колебаний около положения равновесия:

\ddot\varphi + k^2\varphi = 0 (7) Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами,

где k=\sqrt{\frac{c}{a}} (8)

C=\left( \frac{d^2\Pi}{d\varphi^2} \right)_{\varphi_{pb}} — коэффициент квазиупругости (см. определение выше (5))

a=\frac{2T}{\varphi^2} — коэффициент квазиинерционности.

T — кинетическая энергия системы.

Подвижное колесо совершает плоско-параллельное движение, тогда

T = \frac{1}{2}m V_A^2 + \frac{1}{2}J_{Az} W^2 (9) , т.к. R=2r , то

J_{Az} = \frac{1}{2}m R^2 = \frac{1}{2}m(4r^2) = 2mr^2 (10)

V_A = (R+r) \dot\varphi = 3r \dot\varphi (11)

W = \frac{V_A}{r} = 3 \dot\varphi (12)

Подставляя (10) — (12) в (9), получим

T= \frac{9}{2} m \dot\varphi^2 , (13)

тогда a=\frac{2T}{\varphi^2} = 9m (14)

С учётом (5) и (14) получим из (8) :

k = \sqrt\frac{c}{a} = \sqrt\frac{2c-3mgr}{9m} , тогда

\tau = \frac{2\Pi}{k} = 2\Pi \sqrt\frac{9m}{2c-3mgr} (15)

\tau — период малых свободных колебаний системы.

3. Записать уравнение малых колебаний системы при нулевых начальных условиях, если на кривошип действует момент M_z = M_o e^{\frac{-t}{\tau}}.

Дифференциальное уравнение вынужденных малых колебаний системы имеет вид:

\ddot\varphi + k^2 \varphi = M_oe^{\frac{-t}{\tau}} (16)

(Для удобства записи обозначим T_{mk} = \tau)

Уравнение (16) — это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение уравнения (16) найдем в виде

\varphi = \varphi_{odn} + \varphi^* (17), где

\varphi_{odn} — Общее решение однородного уравнения (7)

\varphi^* — частное решение неоднородного уравнения (16), которое ищется в форме правой части уравнения (16).

\varphi_{odn} = C_1\cos kt + C_2\sin kt (18)

k — циклическая частота (см.(8))

Пусть

\varphi^* = Be^{ \frac{-t}{\tau}} \\ \dot\varphi^* = -\frac{B}{\tau}e ^{\frac{-t}{\tau}} \\ \ddot\varphi^* = \frac{B}{\tau^2}e^{\frac{-t}{\tau}} (19)

Подставляем (19) в уравнение (16), получим

\frac{B}{\tau^2} e^{\frac{-t}{\tau}} + k^2B e^{\frac{-t}{\tau}} = M_0 e^{\frac{-t}{\tau}}

сравним коэффициенты при степени «e» в левой и правой части, получим, что

\frac{B}{\tau^2} + k^2B = M_0, отсюда

B = \frac{M_0}{k^2+\frac{1}{\tau^2}} = \frac{M_0 \tau^2}{k^2\tau^2+1}, тогда

\varphi^* = \frac{M_0\tau^2}{k^2\tau^2+1} e^{\frac{-t}{\tau} (20)

вернёмся к (17), получим с учётом (18) и (20):

\varphi = C_1 cos kt + C_2 \sin kt + \frac{M_o\tau^2}{k^2\tau^2+1} e{\frac{-t}{\tau} (21) — уравнение вынужденных колебаний системы

4. Определим произвольные постоянные C_1 и C_2 при нулевых начальных условиях : \varphi = \varphi_0 = 0 ; \dot\varphi_0 = 0 ; при t_0=0

Подставляя начальные условия в (21) получим:

\varphi_0 = 0 = C_1 + \frac{M_0\tau^2}{k^2\tau^2+1} \rightarrow C_1 = - \frac{M_0\tau^2}{k^2\tau^2+1}, см. (15)

\dot\varphi = -C_1k\sin kt + C_2 k \cos kt - \frac{M_0\tau}{k^2\tau^2+1 } (22)

\dot\varphi_{t=0} = C_2k - \frac{M_o\tau}{k^2\tau^2+1} = \dot\varphi_0 = 0 , отсюда C_2 = \frac{M_0\tau}{k(k^2\tau^2+1)} (23)

Окончательно: подставим в (21) и (23), получим

\varphi = - \frac{M_o\tau^2}{k^2\tau^2+1} \cos kt + \frac{M_o\tau}{k(k^2\tau^2+1)} \sin kt + \frac{M_o\tau^2}{k^2\tau^2+1} e^{\frac{-t}{\tau}} — уравнение вынужденных малых колебаний при нулевых начальных условиях.