1.3 Определение усилий в стержнях фермы. («Метод вырезания узлов» и «метод Риттера»)

Условие задачи:

Определить усилия в стержнях плоской фермы, находящейся под действием плоской системы сил.

Рис.1

Дано:

$P_1=3 kH$
$P_2=7 kH$
$P_3=5 kH$
$a=h=4m$
$\alpha = 45^o$
(весом стержней пренебречь).

Определить:

Усилия в стержнях $\overline N_1, \overline N_2, ... , \overline N_{13}$ (методом вырезания узлов);
$\overline N_8, \overline N_9, \overline N_{11}$ — (методом Риттера),
а так-же реакции опор $\overline R_A, \overline R_B$ .

Решение:

1. Определить реакции в опорах фермы.

(в точке A — неподвижный, а в точке B — подвижный шарниры)

$\overline R_A (X_A,Y_A) = ?$

$\overline R_B (0,Y_B) = ?$

Условия равновесия сил, приложенных к ферме $\overline F_i : \{ \overline P_1,\overline P_2,\overline P_3,\overline R_A,\overline R_B\}$ :

(1) $\begin{equation*} \begin{split} \sum^{n=5}_{i=1} F_{ix} = 0; \\ P_1+X_A=0; \end{split} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \sum^{n=5}_{i=1} F_{iy} = 0; \\ -P_2-P_3+Y_A+Y_B=0; \end{split} \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \begin{split} \sum^{n=5}_{i=1} M_A(\overline F_i) = 0; \\ -P_1\cdot 2h - P_2\cdot a -P_3\cdot 3a + Y_B \cdot 2a =0; \end{split} \end{equation*}$

Из (1) определим горизонтальную составляющую реакции в точке A: $X_A = -P_1 = -3 (kH)$
Из (3) определим реакцию в точке B $(\overline R_B = \overline Y_B)$ :

$Y_B = \frac{1}{2a} (P_1\cdot 2h - P_2\cdot a + P_3\cdot 3a) =$

$= \frac{1}{8} (3\cdot 6 + 7 \cdot 4 + 5 \cdot 12) = 13.25 (kH)$

Из (2) определим вертикальную составляющую реакции в точке A:

$Y_A=P_2+P_3-Y_B = 7+5-13.25 = -1.25 (kH).$

Так как получили отрицательные значения для $X_A$ и $Y_A$ , то следует условные направления этих векторов изменить на противоположные (см. Рис.1)

2. Определение усилий в стержнях фермы (метод вырезания узлов)

Геометрия:

$AC=\sqrt{h^2+a^2} = \sqrt{9+16} = 5(m)$

$\sin \alpha = \frac{a}{|AC|} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\cos \alpha = \frac{h}{|AC|} = \frac{3}{5} = 0.6$

Вырезаем узлы.

Узел «A»

Условия равновесия сил, приложенных к узлу.

(4) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; -X_A+N_6 \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; N_2+N_6 \cdot \cos\alpha+Y_A=0 \end{equation*}$

Из (4) определяем усилие в стержне 6:

$N_6 = \frac{X_A}{\sin\alpha} = \frac{3}{0.8} = 3.75 (kH)$

Из (5) определяем с учётом полученного $N_6$ усилие в стержне 2:

$N_2= - N_6 \cdot \cos\alpha - Y_A = 1.25-3.75 \cdot 0.6 = -1 (kH)$

Так как получили отрицательные значения для $N_2$ , то условное направление вектора (красная стрелка) следует изменить на противоположное (зелёная стрелка).

Узел «E»

(6) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; P_1+N_3=0 \;\; \rightarrow N_3=-P=-3(kH) \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; N_1=0 \end{equation*}$

Узел «D»

(8) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; N_5+N_4 \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; N_1-N_2+N_4 \cdot \cos\alpha=0 \end{equation*}$

Из (9) $\rightarrow N_4=\frac{N_2-N_1}{\cos\alpha} = \frac{-1-0}{0.6} = -1.67 (kH)$
Из (8) $\rightarrow N_5 = -N_4 \sin\alpha = 1.67 \cdot 0.8 = 1.33 (kH)$

Узел «H»

(10) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; -N_3+N_8 -N_4 \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; -P_2-N_7-N_4 \cdot \cos\alpha=0 \end{equation*}$

Из (10) $\rightarrow N_8=N_3+N_4 \cdot \sin\alpha=-3-1.67\cdot 0.8=-4.33 (kH)$
Из (11) $\rightarrow N_7 = P_2-N_4 \cdot \cos\alpha = -7+1.67\cdot 0.6=-6 (kH)$

Узел «L»

(12) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; -N_{12}-N_{13} \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(13) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; -P_3-N_{13} \cdot \cos\alpha=0 \end{equation*}$

Из (13) $\rightarrow N_{13}=-\frac{P_3}{\cos\alpha} = \frac{5}{0.6} = -8.33 (kH)$
Из (12) $\rightarrow N_{12}=-N_{13} \sin\alpha = 8.33\cdot 0.8=6.67 (kH)$

Узел «B»

(14) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; -N_{10}+N_{13} \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(15) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; N_{11}+R_B+N_{13} \cdot \cos\alpha=0 \end{equation*}$

Из (14) $\rightarrow N_{10}= N_{13}\cdot \sin\alpha = -8.33 \cdot 0.8 = -6.67 (kH)$
Из (15) $\rightarrow N_{11}=-R_B - N_{13}\cdot \cos\alpha = -13.25+8.33 \cdot 0.6 = -8.25 (kH)$

Узел «K»

(16) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \;\;\; N_{12}+N_8-N_9 \cdot \sin\alpha=0 \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \;\;\; -N_{11} -N_9 \cdot \cos\alpha=0 \end{equation*}$

Из (17) $\rightarrow N_9=-\frac{N_{11}}{\cos\alpha} = \frac{8.25}{0.6} = 13.75(kH)$
Из (16) $\rightarrow N_8=N_{12} - N_9\cdot \sin\alpha =6.67-13.75 \cdot 0.8 = -4.33 (kH)$

Узел «C»

(18) $\begin{equation*} \sum X_i = 0; \end{equation*}$

Проверка решения.

$-N_5+N_{10} - N_6 \cdot \sin\alpha + N_9 \cdot \sin\alpha = 0$

$1.33-6.67-3.75 \cdot 0.8 + 13.75 \cdot 0.8 = 0$

(19) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \end{equation*}$

$N_7+N_9 \cdot \cos \alpha - N_6 \cdot \cos \alpha = 0$

$-6+13.75 \cdot 0.6 - 3.75 \cdot 0.6 = 0$

Так как условия (19) и (18) подтвердились, то проверка сходится.

Второй способ — определение усилий в стержнях $\overline N_8, \overline N_9, \overline N_{11}$ методом Риттера

«Рассекаем» одним сечением два узла 8,9

(20) $\begin{equation*} \sum M_C (\overline F_i) = 0. \end{equation*}$

$N_8 \cdot h + R_B \cdot a - P_3 \cdot 2a = 0.$

$N_8=\frac{(2P_3-R_B)a}{h}=\frac{(2 \cdot 5-13.25)\cdot 4}{3} = -4.333 (kH)$

(21) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \end{equation*}$

$-N_9 \cdot \cos \alpha + R_B-P_3=0$

$N_9 = \frac{R_B-P_3}{\cos\alpha} = \frac{13.25-5}{0.6} = 13.75 (kH)$

(22) $\begin{equation*} \sum Y_i = 0; \end{equation*}$

$N_{11}=P_3 + R_B=0$

$N_{11}=-R_B+P_3=+5-13.25=-8.25 (kH).$

Сравнить $N_8,N_9,N_{11}$ полученные двумя способами (совпадение полное).
Результаты расчётов приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

№ стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Усилие (kH)	0	1	3	1.67	1.33	3.75	6	4.33	13.75	6.67	8.25	6.67	8.33
«-» — сжатие «+» — растяжение		‐	‐	‐	+	+	‐	‐	+	‐	‐	+	‐

Таблица 2

$R_A$	$R_B$	$X_A$	$Y_A$
3.25	13.25	-3	-1.25

Ответ:

$R_A = \sqrt{X_A^2+Y_A^2} = \sqrt{(-3)^2+(-1.25)^2} = \sqrt{9+1.56} = 3.25 (kH)$
$R_B = Y_B = 13.25 (kH)$